2-7 Développement en Série de Fourier
Développement en série de Fourier
Ce chapitre est fondamental car il permet à partir des développement en série de Fourier de valider la mécanique classique et surtout celle quantique en partant de la Mesure Physique et de ses résultats expérimentaux actuels qui peuvent être obtenus avec 15 chiffres significatifs sur les valeurs essentielles de notre connaissance des bases de la Physique. De plus, il apparait que le principe d'incertitude de Heisenberg doit être plutôt considéré comme une conséquence ou un théorème plutôt qu'un apriori ce qui modifie les bases même de la connaissance. La Physique y gagne en cohérence et en simplicité.
Ma méthode va être essentiellement basée sur la mesure physique qui devra rendre compte de tous les résultats mesurés à 10-12 , au pico prés, donc avec 12 chiffres significatifs et même bientôt. à 10-15 Les outils de démonstrations seront ceux des mathématiques pour étudier les équations algébriques développées qui seront soit des polynômes pour les variables ponctuelles, soit des développements de Fourier pour les ondes. Ces deux développements permettent dans l'espace fini de l' univers d'exploiter la complétude de la théorie des ensembles de l'analyse mathématique portant sur ces fonctions toutes deux avec autant de précision et ne permettent pas de discréminer les unes des autres et permet surtout de mieux comprendre les structures sous jaçentes responsables des comportements physiques de ces éléments.
https://www.silicium628.fr/cours/tr_fourier/page3.php
Cette publication animée permet d'illustrer la propriété essentielle de l'incertitude d'Heisenberg sur la localisation ou la délocalisation des ondes et des particules en mécanique Quantique. On y voit dans le paragraphe 3-Transformée de Fourier d'un train d'ondes sinusoïdales que plus l'onde sinusoïdale se délocalise plus la particule associée par la transformation de Fourier se localise et inversement. Cette Video résume tout l'essentiel.
Il faut donc impérativement au moins consulter cette publication pour mieux comprendre ce qu'apporte la transformée de Fourier et ce paragraphe à la compréhension des mécanismes fondamentaux de la Physique et de ses lois fondamentales. On y voit par le développement des calculs et la simulation des résultats tout ce qu'apporte la transformation de Fourier au concept onde-particule de l'espace au niveau de ses éléments fondamentaux.
On peut décomposer toute courbe (récurrente ou de dimension finie sur une période) en une somme de sinusoïdes. En analyse, les Série de Fourier — Wikipédia sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique. (fondamentale et harmoniques). Ces sinusoïdes sont alors, comme les points, les briques fondamentales de l'univers. Ce paragraphe est important pour décrire à l'aide de points et de courbes tout l'espace.
L'origine de tout cela est le photon. C'est la particule originale dans la conception de l'univers. C'est l'étalon de toute les mesures. C'est ma monade dans la conception de notre univers. C'est une onde comme brique universelle et donc le premier principe est alors le principe de superposition qui gère la composition des éléments fondamentaux et qui génère le principe de Heisenberg qui n'en est qu'une conséquence. C'est ce que l'on voit sur la figure ci dessus.
Introduction.
Connaître son environnement c'est pouvoir le restituer tel qu'il est et donc pouvoir le restituer dans les moindres détails. Son image doit être non seulement identique à son original dans les trois dimensions x,y,z de l'espace mais aussi évoluer de la même manière dans le temps t , ce qui introduit une quatrième dimension. Ces quatre dimensions nous permettent de nous définir dans notre monde même si tout semble changer sans retour en arrière. Certains sont tentés de développer d'autres dimensions, au ciel ou aux ténèbres, pour expliquer l'inexplicable. Ce fut le cas de la mythologie mais on peut remarquer qu'avec 4 dimensions supplémentaires on pourrait sans doute développer un tout autre monde identique ou non au monde actuel alors autant en rester là.
Actuellement, on dispose de moyens considérables pour rendre compte de notre environnement et en particulier grâce à la photocopie telle que cette figure ci dessus qui a été tracée à la règle et au crayon, donc avec que des droites. Et pour vous en convaincre vous pouvez les regarder même d'un seul œil. Or les deux droites horizontales ne semblent pas être des droites. Ces deux droites ici horizontales apparaissent bombées autour du point central, ce qu'elles ne sont pas. Alors, où est le bug? C'est heureusement notre cerveau qui nous impose cette solution bien pratique pour comprendre notre environnement à trois dimensions dans la projection à deux dimensions de la page ci contre et en inventant le point de fuite représentant le point de concourt des droites parallèles qui se coupent à l'infini, donc bien plus loin derrière le plan de cette page et hors de portée bien plus loin. Le cerveau est donc capable d'interpréter la réalité même si elle est fausse pour mieux la comprendre. C'est d'ailleurs ce qui ce passe dans notre cerveau et c'est l'expression de l'intelligence. Tout cela ne nous facilite pas la vie et en particulier pour l'affirmation de ce qui est vrai et de ce qui est faux. Mais ce pourrait être et l'un et l'autre ? d'où la nécessité de la logique mathématique des physiciens.
Bien, si nous voulons rendre compte de notre environnement il nous faut le représenter, comme ci dessus, disons par un dessin unique que tout le monde reconnaîtra comme étant une même représentation décrivant cette vérité. Ce dessin sera constitué au départ de points et de courbes dans le plan de la feuille. C'est ce que l'on va étudier scientifiquement au départ grâce à la géométrie des points et des courbes et avec l'algèbre des nombres. Ce langage sera celui ses mathématiques nécessaire à la comparaison des éléments représentés et dessinés sur notre feuille qui nous permettrons de comparer les éléments représentés par des mesures physiques au delà des opinions qui nous font penser que les dessins sont la réalité.
Ci dessous y =x est l'équation de la droite montante représentée en gris et développée ici en sommes de sinusoïdes comme le permet le développement en série de Fourier jusqu'à l'ordre n=1,..6,..11,..21 où l'on voit s'affiner la courbe résultante en rouge pour représenter de plus en plus cette même droite localement par superposition de 1,6,11,21 sinusoïdes.
Cette somme de sin(nx)/n représentée ci dessus converge vers y=x avec n=1,6,11,21..... et il suffit de continuer jusqu'à une valeur de n suffisamment grande pour arriver à la précision désirée.
Cette équation y= f(x) est une équation polynomiale y=x la plus simple qui soit pour la droite montante.
Cette fonction périodique peut être aussi développée sous un forme trigonométrique de série de Fourier comme développé ci dessous.
Séries de Fourier: Définitions et Résultats
L'expression mathématique s'appellera une série de Fourier définie comme suit:
La série de Fourier (ou polynôme trigonométrique) est une expression de la forme suivante qui peut s'écrire sous forme d'une somme algébrique de sin(nx)/n :
et plus généralement:
Les constantes a0, ai et bi , avec i = 1, 2, … , n s'appellent les coefficients de Fn (x) .
La série de Fourier sont des fonctions périodiques de période 2p .
Principe d'incertitude — Wikipédia entre position x et impulsion p= h.k
En mécanique quantique, le principe d'incertitude ou, plus correctement, principe d'indétermination, aussi connu sous le nom de principe de délocalisation de Heisenberg, désigne l'inégalité mathématique affirmant qu'il existe une limite fondamentale conjuguée à la précision avec laquelle il est possible de connaître simultanément deux propriétés physiques conjuguées d'une même particule; ces deux variables dites complémentaires peuvent être sa position x et sa vitesse v.
Incertitude, Indétermination, Délocalisation cela fait beaucoup de définitions distinctes pour une même propriété de la matière quantique. Tout cela entraîne en soit une erreur bien regrettable. Nous montrons ici s'agit de délocalisation naturelle du phénomène physique associée à l'onde.
Ce peut être aussi l'énergie E et le temps t associées à la particule. Cette inégalité se démontre par exemple en faisant le produit des fonctions de la position x du point et de sa transformée de Fourier.
On obtient alors les courbes d'incertitudes ci dessus sur la position x en rouge et l’impulsion p=m.v.
Au fur et à mesure que la masse m de la particule devient minuscule h/2m s'étend et l'onde qui lui est associée devient de plus en plus étendue et donc délocalisée. C'est la propriété fondamentale de la mécanique quantique qui elle est vérifiée expérimentalement avec une précision au delà de toute nécessité….. et donc validée.
Transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire :
Calcul de la transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire appelée aussi " fonction porte " ou " fenêtre rectangulaire rectt(t) ", ou encore "fonction Pa(t) ",
" créneau élémentaire pour l'électron " où (Dx=10-22 m pour m = -10 - 31 kg.)
rectt(t)=1 si - t /2 < t < t /2 et = 0 ailleurs.
Cette courbe en vert entoure un carré de surface unité en vert clair de densité de masse m .
Cette masse sera très faible dans le cas des particule quantique qui seront de plus en plus des ondes.
On rappelle les propriétés des fonctions trigonométriques et leur utilisations :
Avec [sin x]' = cos x soit Int(cos x) = sin x
et [cos x]' = - sin x soit Int( sin x) = - cos x
sin (-x) = - sin x et cos (-x) = cos x
On calcule la transformée de Fourier F(x) de rectt(t)
Nous voyons apparaître la fonction sinus cardinal
sinus cardinal sinc(x) = sinx/x
Remarques sur la largeur de la raie spectrale Dx de -p à +p.
Cette transformée de Fourier est réelle.
La largeur Dx du pic principal est égal à Dx = 2p
c'est à dire, D(wt) = 2p
dont le produit 2p.Dn.t = 2p
Dn.t = 1 => Dn = 1/t
La largeur (fréquentielle Dn) de la raie est inversement proportionnelle à la largeur temporelle t de l'impulsion. Leur produit est constant.
Si l'on augmente la largeur t de l'impulsion, la largeur du pic de la Transformée de Fourier diminue. Si l'on fait tendre la largeur de l'impulsion t vers l'infini, la largeur du pic de la Transformée de Fourier va tendre vers zéro et la Transformée de Fourier devient alors une impulsion de Dirac ponctuelle.
Ces propriétés de la Transformée de Fourier sont intrinsèques à leur représentation. Ce sont des propriétés des courbes qui représentent exactement leur localisation. Ce ne sont pas les résultats d'une délocalisation statistique résultant d'une fluctuation des grandeurs Physiques entraînant une valeur moyenne statistique variable mais c'est bien une délocalisation de la variable elle même.
Cette somme de sin(nx)/n représentée ci dessus converge vers y=x avec n = 1,2,3.....
En mécanique quantique, le principe d'incertitude, ou plus correctement le principe de délocalisation, aussi connu sous le nom de principe d'incertitude de Heisenberg, désigne l'inégalité mathématique affirmant qu'il existe une limite fondamentale à la précision avec laquelle il est possible de connaître simultanément les deux propriétés physiques complémentaires d'une même particule; ces deux variables peuvent être sa position x et sa quantité de mouvement p. C'est en réalité un théorème démontré par Heisenberg présenté pour la première fois en 1927 qui énonce que toute amélioration de la précision de mesure de la position d’une particule se traduit par une moindre précision de mesure de sa vitesse et vice-versa. L'inégalité formelle reliant l'écart type sx de la position x et l'écart type sp de la quantité de mouvement a été établie par Kennard plus tard la même année et par Weyl en 1928:
Cette forme met en évidence que le produit des deux écarts types est important surtout pour les particules microscopiques qui ont de très petites masses ou pas de masse du tout. Pour les objets macroscopiques de masse grande, ce produit est négligeable de sorte que leur mouvement est bien décrit par la mécanique newtonienne. Le terme «incertitude» est le terme historique pour ce principe. Le nom de théorème d'indétermination est parfois préféré car le principe ne porte pas sur l'ignorance «subjective» de grandeurs par l'expérimentateur, mais bien sur une impossibilité fondamentale de les déterminer, et même sur le fait que le concept de grandeur précise n'a pas de sens physique. De plus, ce «principe» étant démontrable, il s'agit en fait d'un théorème.
Les courbes suivantes (position x) et (fréquentielle ) impulsion ou quantité de mouvement de (a) une onde, (b) un paquet d'onde et (c) un corpuscule. L'onde étant de fréquence pure, son impulsion est définie mais elle n'est pas localisée dans l'espace. Inversement, le corpuscule est localisé mais n'a pas de fréquence déterminée. Le cas général est celui du paquet d'onde qui est distribué en fréquence comme en espace. Du fait de la dualité entre les deux représentations l'étalement spatial est inversement proportionnel à l'étalement fréquentiel.
Pourquoi le vide quantique est la base de toute formation et de toute …
vendredi 3 mars 2017, par Robert Paris «Toute la physique est présente dans le vide.»
Si on essayait de se donner une image du vide... ce serait déjà un univers agité où tout apparaît et disparaît... Oui, tout... Plutôt toutes les sortes de particules et d’antiparticules... Et tout cela se passe dans des temps tellement courts que nous ne percevons rien, d’autant que les énergies gagnées sont compensées par les énergies perdues... A notre échelle, c’est comme rien mais déjà, à l’échelle des particules, ce n’est pas rien puisque le vide les agite, les fait aussi apparaître et disparaître…
De plus en plus, la physique de la matière et de la lumière est amenée à raisonner celle-ci comme produit des propriétés du vide. Les propriétés des quanta de matière et de lumière sont des propriétés du vide. La masse et la charge sont des propriétés du vide. L’énergie noire, la matière noire eux-mêmes semblent être des propriétés du vide. Le vide n’est pas le rien mais seulement un minimum d’énergie mais ce minimum n’est pas sans structure ni sans champs ni sans propriétés. Le vide est fait de quanta éphémères (particules et antiparticules ainsi que photons dits virtuels) qui sont le fondement (en leur fournissant une énergie) des quanta réels de la matière et de la lumière. On trouve dans le vide quantique toutes les sortes de particules et toutes les propriétés de la physique.
Le plus extraordinaire, concernant le vide quantique, est sans doute le fait qu’il possède déjà toutes les propriétés de la matière et de la lumière, tout en les inhibant parfois, le fait qu’il soit aussi complexe, structuré, avec différents états, différents niveaux hiérarchiques d’organisation, que son temps n’obéisse pas à la flèche tournée vers le futur, qu’il soit capable de produire sans cesse une énergie sans fin.