Du Big Bang au Cerveau

Synthèse des Mathématiques et de la Physique

Je rédige cette partie d’abord pour montrer que la Physique a eu besoin d’un langage et d’un outil mathématique suffisamment développé pour pouvoir s’exprimer et devenir une science. Ce sont les développement de l’algèbre qui ont permis ceux de la Physique qu’ils précèdent. La Physique a exploité très rapidement les avancées de la géométrie et de l’algèbre qui étaient au début très imbriquées et nécessaires à la compréhension du monde et à son développement.

La structure du monde et celle des nombres sont étroitement liées. Mais, il y a aussi dans l’aventure humaine des sciences, une créativité fantastique qui met en avant le rôle de l’homme et de ses possibilités d’abstraction et d’imagination liées à sa liberté et ses innovations intellectuelles. Avec Einstein et ses articles en 1905 à 26 ans, Abel qui meurt à 26 ans en 1829 et Galois à 20 ans en 1832 apparaissent comme des sortes de comètes, qui ne doivent pas nous faire oublier tout le travail et l’apport de tous les autres qui pointent sur des étoiles à l’état brut de ce qui caractérise l’épopée humaine.

Un autre point fondamental est encore en gestation, c'est la mécanique quantique, qui n'est pas encore totalement digérée, en particulier pour l'intrication.

La Physique classique s’est développée depuis l’antiquité dans un environnement technique loin des possibilités extrêmes actuelles de mise en évidence des déviations et des distorsions. Disons qu’on s’est retrouvé dans des conditions de petites variations de la plupart des paramètres normaux utilisés, ce qui se traduit généralement par de petits effets proportionnels aux actions. Le poids, les dimensions, le déplacement, les vitesses, la température etc….variant peu sous l’effet de petites actions voient ces valeurs modifiées proportionnellement à ces quantités et au temps des interventions.

L’arithmétique à été le premier outil nécessaire au développement des mesures, d’abord par les entiers qui permettent le dénombrement, puis par les fractionnaires pour les proportions enfin par les nombres réels et irrationnels par leur structure et ceci dés Pythagore.

Dés l’antiquité avec l'École ionienne la logique et le raisonnement ont permis de démontrer pour les premières fois un certain nombres de résultats avec dans l'ordre :

Thalès de Milet (6è siècle avant J.-C) appelé communément Thalès était un philosophe présocratique. Il fut l'un des Sept sages de la Grèce et le fondateur présumé de l'école milésienne avec Anaximandre et Anaximène.. qui devaient développer la géométrie  Euclidiène.

                Théorème de Thalès =>      AB/AC = AD/AE                Proportions

Pythagore (6è siècle avant J.-C) est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île de la mer Égée au Sud-Est de la ville d'Athènes ; on établit sa mort vers 497 av. J.-C., à l'âge de 83 ans.

Le théorème de Pythagore permet de calculer l’hypoténuse et d’introduire et de démontrer l’existence de nombres irrationnels par exemple pour la racine carrée de 2.

              Théorème de Pythagore             Démonstration géométrique

On a quatre triangles en bleu composés d’un grand coté A de 4 carreaux et d’un petit B de 3 carreaux qui ont une aire de AxB = 4x3/2 = 12/2 = 6 . L’hypoténuse de ce triangle est C de ? Le grand carré externe a pour coté (A+B) de 7 carreaux et donc une aire de (A+B)² = 49. Il contient le carré multicolore pivoté de coté C dont l’aire est C² inconnue et les quatre coins blancs d’aire 2AxB = 2x6 = 12. On obtient ainsi un semblant de démonstration.

On peut écrire           (A+B)² = C² + 2AxB => A² + B² +2AxB = C² +2AxB => A² + B² = C²

          Les Nombres irrationnels                  Démonstration algébrique        

√2     est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle construit dans un demi-carré dont les cotés sont égaux à 1. Ce nombre est irrationnel, c'est une racine carrée. Il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction p/q de deux entiers. On démontre cela par l’absurde. En effet supposons que ce soit possible alors on peut écrire sous forme d’une fraction irréductible = p/q de deux nombres entiers   p et q premiers entre eux   qui n’ont aucun diviseur commun permettant de simplifier cette fraction.

Si c’est le cas on élève cette fraction au carré et on obtient le nombre 2 comme ci dessous :

          p/q =>      2 = p²/q² =>     p² = 2.q²     donc 2 divise p.p          et donc  divise  p =>   p = 2.x

          p = 2.x =>                       4.x² = 2.q²   => q² = 2.x²                   donc 2 divise le produit q.q                                                                      et donc  q

          on a démontré que     p = 2.x    et    q = 2.y     tous deux sont divisibles par 2  donc réductibles. Ceci est contraire à l’hypothèse initiale que p et q sont premiers entre eux et donc n’ont aucun diviseur commun.

On ne peut donc pas supposer et écrire que = p/q .

√2 =  1,4142135623730950488016887242097…      qui ne peut s’écrire sous la forme  p/q  et s’écrit avec une infinité sans fin de chiffres ce qui est donc impossible à transcrire.

La duplication du volume du cube est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Ce problème consiste à construire un cube, dont le volume est deux fois plus grand que celui d’un cube donné. Cela revient donc à construire l'arête du cube qui est à multiplier par  ∛2  car élevé au cube ce nombre nous donne un volume égal à 2.  

Le problème a son origine dans une légende rapportée par Ératosthène dans Le Platonicien et par Théon de Smyrne dans son Arithmétique. Les Déliens, victime d'une épidémie de peste, demandèrent à l'oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.

En 1837, Pierre-Laurent Wantzel  établit un théorème donnant la forme des équations des problèmes solubles à la règle et au compas. Il démontre que ∛2 n'est pas constructible. La duplication du cube est donc impossible à réaliser à la règle et au compas.

La question intéressa nombre de mathématiciens et ne sera résolu qu’en 1837 comme pour les solutions des équations du cinquième degré et plus avec ...

Éléments d'Euclide d'Alexandrie (3è siècle avant J.-C) Les Éléments sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Ils comprennent une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitive.

Mais l’ensemble des nombres manque encore de cohérence car il lui manque le 0 et donc une numération pratique, et des opérateurs, addition et multiplication, efficaces et simples.

Diophante d'Alexandrie III^è siècle fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue en tant que nombre, et à ce titre il peut être considéré comme "le père" de l'algèbre. Ce dernier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme d’où découle arithmétique.

Dans la première partie du IX^è siècle le mot «algèbre» vient de l'arabe al-jabr (الجبر) , qui est devenu algebra en latin et qui signifie «la réunion» (des morceaux), «a reconstruction» ou «la connexion» (en espagnol le mot algebrista désigne celui qui pratique le calcul algébrique). Le système décimal avec les chiffres arabes d’origine indienne dont le zéro s’imposent alors.

Une large proportion des méthodes utilisées en algèbre sont issues de résultats élémentaires de géométrie. Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique.

Jusqu'au XVII^e siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques et leur variations. La codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. C'est à François Viète (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres.

Au XVII^e siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « imaginaires », tels que l'une des racines carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) :

Sous sa forme moderne, ce théorème s'énonce : Le corps C des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication est algébriquement clos. (complet et cohérent)

Racines d'un Polynôme.

Synthèse des mathématiques et de la Physique.

Les fonctions mathématiques tel F(x,y,z) = 0 jouent un rôle important dans la connaissance du monde car elles permettent de tracer des courbes, des surfaces et des volumes avec une précision sans limites de la positions des points (x,y,z) ce qui nous est bien utile pour étudier et reproduire à l'identique l'espace qui nous entoure. Par exemple  x² + y² +z² – R² = 0  est l'équation d'une sphère de rayon R obtenue directement par le théorème de Pythagore.

Ce peut aussi être la description d'une trajectoire et du mouvement d'un objet sur cette trajectoire en fonction du temps t . C'est alors en plus de la position (x,y,z) l'intervention du temps . Par exemple la chute d'un corps verticalement z = f(t) sera une fonction du temps   t .            Et, cette fonction est en général  z  = ½.g.t²    à partir du moment où le corps est lâché.

Le lien est ici évident entre ces deux sciences qui d'ailleurs se sont développées en symbiose formidablement depuis le VIème siècle AC en Grèce avec Thalès né vers 625 av. J-C. à Millet et mort vers 546 av. J-C. et Pythagore né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, et mort vers 495 av. J-C. Ces deux savant ont développé déjà à leur époque des écoles qui se sont perpétuées ensuite et pour l'éternité....

Je veux montrer le plus simplement possible ce que sont ces sciences et ce qu'elles nous apportent. En mathématiques......  On cherche souvent à calculer les racines d'un polynôme Pn(x) = 0 de degré n.

Pn(x) =  xⁿ + an-1.x^n-1 + … + ai.xⁱ +…+ a1.x¹ + a0

On sait que ces racines sont en nombre égale au degré du polynôme, ici de degré n, et donc que l'on peut réécrire ce polynôme sous la forme d'un produit de n facteurs du premier degré où apparaîtront directement chacune de ces valeurs des n racines xi où i varie de   1 à n. 

Pn(x) = (x-xn)(x-xn-1) ... (x-xi)  ... (x-x3)(x-x2)(x-x1) = 0 

Cette structure très régulière de n termes (x-xi) successifs est une répétition d'éléments algébriques … qui ressemble à une chaîne et amorce une nouvelle dimension linéaire dans l'espace des polynômes. La permutation des facteurs constitutifs de cette suite ne modifie en en rien son expression algébrique. On a affaire dans cette transformation à une symétrie fondamentale qui laisse inchangée son expression algébrique.

Cette propriété s'avère fondamentale pour le développement un siècle plus tard de la mécanique quantique. C'est cette réflexion abstraite sur les symétries des expressions algébriques qui est complètement innovante et dans le cas de ce développement on se trouve avec une série de n parenthèses quasi identiques où seule les racines sont distinctes mais totalement interchangeables sans pour autant modifier en quoique ce soit les valeurs du polynôme. Cette symétrie rend toutes les racines équivalentes dans la structure du polynôme. Ce qui explique leur possibilité de coexister physiquement en permanence avec des localisations pouvant varier instantanément sans rien changer au résultat.

Cette modification instantanée pose un problème sur le temps utilisé en physique classique mais pas en physique quantique avec l'intrication de ces deux états qui changent instantanément où que se trouvent ces deux éléments sans rien changer  pour   Pn(x) = 0 .

Remarque pour bien comprendre ce que cela entraine avec   P2(x) = 0   on pourrait avoir : 

 (x-x2)(x-x1) = 0   est équivalent  à   (x-x1x1 et x2  racines sont indiscernables si elles ont la même valeurs. Cette valeur double peut correspondre à un même niveau énergétique par exemple qui  peut alors les appairer et le spin associé à leur moment magnétique serait alors le seul paramètre qui permettrait de les distinguer ce qui  permettrait d'expliquer l'intrication par paires par exemple).

Autre Remarque à ce niveau:       

Le temps n'intervient pas explicitement bien que l'on étudie des transformations fondamentales. 

Mais le temps t est bien  une variable essentielle à la physique qui est étroitement associé aux changements qui de ce fait  s'extrairait  alors probablement de cette symétrie par une sorte de brisure ?     A savoir !

Ces symétries ressortent aussi du tableau suivant qui identifie,  après les développements algébriques de tous ces produits,  les coefficients σi   par     σi = (−1)ⁱai

          σ1 = x1             + x2        + ···      + xi               + ······ + xn…       = S xi

          σ2 = x1x2          + x1x3     + ···      + x1xi         + ······ + xn−1xn…  = S xixj    pour i<j

          σ₃ = x1x2x3      + x1x2x4   + ···      + …      + ······ + …           = S xixjxk    pour i<j<k

                                   ....                        .....               …         .....

          σi = x1x2...xk         +            .....        …                ....                     = S xi1xi2...xik

                               ....                       ......               …         .......

         σn =                                    x1x2x3...xi...xn-1xn 

Tous ces σi sont les polynômes élémentaires des n racines x1, x2,..xi.., xn où apparaissent les sommes des i produits des racines xi qui sont alors des relations symétriques car indépendantes de l'ordre de ces racines et on peut permuter deux à deux ces racines sans que les valeurs de ces fonctions sigma σi changent.

On peut remarquer la régularité de la structure de ce tableau dans l'écriture qui correspond à une sorte de symétrie de la sctucture elle même des équations que l'on va retrouver dans les solutions et dans les méthodes de résolution.

La résolution du polynôme Pn(x) = 0 équivaut à la résolution de ce système des n équations sigma précédentes σ1_,σ2_,...σi,...σn avec σi = (−1)ⁱai  égal aux  coefficients successifs  ai du polynôme.

Ces fonctions sont symétriques en x1 x2 x3 …. xi …. xn

et comme Lagrange on cherche à les résoudre en brisant progressivement leur symétrie pour n≤4 comme par exemple pour l'équation de degré 2 où le système correspond aux deux polynômes élémentaires

σ1  = x1+x2 = -a1     et    σ2   = x1.x2 = a2

On considère alors la fonction y = x₁− x₂ qui elle n’est pas symétrique car si on échange x1 et x2 ceci change de signe et de valeur alors que le carré de y est lui symétrique et comme on a :

y² =  (x1 − x2)² = x1² + x2² −2x1.x2 =  (x1 +x2)² − 4x1.x2 =  σ1² −4σ2²   = on a les deux racines carrés de y avec + ou −  .  

a1² + 4a2²     et    a1² − 4a2

Dans la théorie algébrique des équations on considère souvent l’ensemble de tous les nombres “engendrés” par les polynômes et par les racines d’une équation – et qui forment le Corps C mathématique des nombres Complexes. Ce que Gallois à mis en évidence et qui mène à la théorie des groupes de Galois c'est que les racines elles même d'un Polynôme particulier engendrent et définissent un ensemble restreint de n nombres qui eux même définissent un ensemble qui est un Corps restreint de Gallois.

C'est cette découverte abstraite qui sera exploitée 100 ans plus tard dans les équations de Schrödinger avec une nouvelle algèbre utilisant la Notation bra-ket — Wikipédia introduite par Paul Dirac en 1939.

Une superposition d'états quantiques peut être alors représentée par une combinaison linéaire d'états propres quantiques . Par exemple, un électron peut être dans l'état

| ψ ⟩ = | 1 ⟩ + i | 2 ⟩

On est alors véritablement dans un autre monde abstrait qui rend compte de l'état réel de la matière à partir d'un développement intellectuel d'une théorie mathématique qui rend compte de la réalité Physique des particules élémentaires.

Intrication quantique — Wikipédia

Le caractère surprenant des états intriqués a pour la première fois été souligné par Einstein, Podolsky et Rosen dans un article de 1935 qui tentait de montrer que la mécanique quantique était incomplète. Dans cet article, les auteurs décrivent une expérience de pensée qui restera connue comme le paradoxe EPR. Mais ce qu'Einstein a nommé «action fantôme à distance» parce qu'il n'y croyait pas, a été largement vérifiée et confirmée par les physiciens[1].

Des expériences démontrant ce phénomène ont été réalisées sur des distances de plus en plus grandes depuis les années 1970. En 2013, l'intrication a été prouvée sur deux électrons séparés de 1.300 mètres, et en 2017 des scientifiques chinois ont envoyé des photons enchevêtrés depuis un satellite à des stations terrestres séparées de 1.400 kilomètres.

Conclusion :        A. Connes, le quantique, notre idée de la réalité – YouTube en 3 minutes.

La réalité est abordée par Alain Connes très brièvement et il reconnaît que malheureusement le Cerveau par son fonctionnement a du mal à la percevoir. C'est ce qui se passe dans le cas de la perception visuelle des parallèles que j'ai repris sur l'affiche de présentation qui résume ce que j'expose dans l' ACCEUIL de mon blog         Du Big Bang au Cerveau

Les deux droites horizontales sont bien ici parallèles entre elles mais n'apparaissent pas ainsi, même d'un seul oeil , car le cerveau ne le veut pas.