2-3 Mathématiques ?

Mathématiques ?

Pourquoi les mathématiques seraient le langage obligatoire de la Physique, et au delà, de la connaissance du monde. Essentiellement parce que c'est la science des structures par la géométrie, des ensembles par leur logique, des mesures par les nombres et de de leur comportements par leurs déplacements et déformations. Cette Matière a sa propre structure qui est une création du cerveau humain et se trouve au bout de l'évolution de l'univers et donc de nos études.

Ce paragraphe est un rappel "hard" des bases qui ont permis d'établir la théorie quantique et qui semblent trop souvent hors de portée... (vidéo à voir).

Les mathématiques sont bâties sur la logique qui à partir d'axiomes et de vérités de base admises, et grâce au principe de causalité, permet de démontrer un certain nombre de nouvelles propositions, lois ou théorèmes qui permettent de préciser de nouvelles connaissances. C'est une matière abstraite qui structure l'information. On aimerait bien que ce soit toute l'information si possible. Il apparait que non d'aprés l'incomplétude de Gödel. Mais on développe ainsi un abre des conséquences qui du plus simple pourrait permettre de déduire et d'expliquer toute la complexité et presque la complétude du systhème global. Whahow...!!!!

En conclusion à partir d'un principe de causalité et d'un principe d'évolution, grâce aux mathématiques, on devrait pouvoir tout comprendre et exposer clairement: du BigBang au Cerveau.

Les équations différentielles et la théorie des ensembles sont les deux branches essentielles des mathématiques qui atteignent leur plénitude ou maturité au XX^ème siècle et nous permettent d'arriver à une précision des mesures de l'ordre de 10^-12 soit quasiment de douze chiffres significatifs.

On verra sur un exemple simple tout ce qu'on en peut tirer comme conclusions.

Équations différentielles applications

Les équations différentielles sont les outils scientifiques de base de la physique fondamentale utilisées pour décrire et générer les événements et les interactions étudiés. Par exemple pour obtenir la trajectoire d'un élément soumis à un ensemble de forces dans un environnement donné. C'est en vérifiant que cette trajectoire est la bonne qu'ont peut en déduire que nos connaissances sur les phénomènes concernés sont valables. Nous allons ainsi voir les conséquences exceptionnelles que cela nous imposent sur un cas particulier très simplement traité par son équation différentielle. v' + f.v = g

Cet exemple d'équation différentielle résolue montre l'efficacité des mathématiques.

Commençons par un exemple, celui d'un parachute. Un parachutiste est soumis à deux forces: une force motrice P constante celle de la gravité de la masse m verticale qui est le poids P = mg qui a tendance a accélérer la chute vers le bas et une force de freinage F proportionnelle à la vitesse v qui s'oppose et limite la vitesse de la chute F = – f.mv .

La loi fondamentale de la mécanique associe la force globale (de ces deux forces) P + F = m.g à l'accélération a qui en résulte sur la masse m en mouvement. Le temps t s'introduit dans l'accélération par a = dv(t)/dt . La chute est verticale car les forces le sont. C'est un jour sans vent.

P + F = mg – f.mv = m.g –> qui se simplifie avec une accélération résultante g = g – f.v

g = dv(t)/dt = g – f.v(t) –> qui aboutit à l'équation simplifiée sur la vitesse v' + f.v = g

C'est l'équation différentielle simplifiée de la vitesse de chute v du parachute qui est la relation entre la fonction vitesse v et sa dérivée v' dans le temps. Résoudre cette équation c'est trouver l'expression de la vitesse v(t) = d(x)/dt en fonction du temps. On en déduira la position x(t) en fonction du temps.

Cette équation se résout en résolvant l'équation homogène ci dessous = 0

v' + f.v = 0 –> v₁(t)= k. exp(-ft)

on y ajoute alors une solution particulière de l'équation = g

v' + f.v = g –> v₂(t)= g/f

la solution de l'équation différentielle est la somme des solutions v₁(t)+v₂(t)

v₁(t) + v₂(t) –> v(t) = g/f + k.exp(-ft)

compte tenu des conditions initiales t= 0 –> v = 0 la solution finale est alors

k= – g/f –> v(t) = (g/f)[1 – exp(-ft)]

Et, on peut tout simplement vérifier ce dernier résultat sans savoir pour autant résoudre cette équation. La résolution est là pour vous convaincre que la science Physique établit en quelques lignes une démonstration de la formule permettant de calculer la vitesse du mouvement de chute du parachute à tout instant et la représenter par une courbe très simple comme ci dessus...

Mais, le plus important c'est cette méthode de résolution qui nous apporte une connaissance bien au delà de nos possibilités de compréhension des phénomènes Physiques. Effectivement la résolution de v' + f.v = 0 le noyau de l'équation homogène linéaire apporte une solution v₁(t)= exp(-ft) et donc une infinité de solution du fait de la linéarité v₁(t)= k.exp(-ft) quelque soit k du fait de cette linéarité est aussi une solution.

Evidemment à zéro 0 on peut toujours ajouter v₂(t)= g cette constante pour retrouver l'équation générale à résoudre v' + f.v = g .

Remarques:

Ci dessus en une seule page de calculs (niveau du Bac) on obtient la formule v(t) = (g/f)[1–exp(-ft)] qui est un condensé de résultats, une structure abstraite générée par le Cerveau qui nous permet de calculer la vitesse v(t) à tout instant t de la chute du parachute. On peut aussi représenter ces résultats par une autre structure graphique qui nous permet de retrouver chacune de ces valeurs. Ces Structures abstraites sont le résultat du Travail du Cerveau et de transformations de l'information avec une dépense d'énergie et une augmentation de l'Entropie du système étudié.

La position x(t) s'obtient en calculant la primitive de la vitesse v(t) avec ici pour position initiale x(0)= 0 on obtient la position x sur la trajectoire verticale:

x(t) = (g/f)t – (g/f²)[1 – exp(-ft)]

Ce sont les solutions des équations différentielles du mouvement de chute du parachute. On obtient expérimentalement une vitesse limite v = 5 m/s ateinte au bout de quelques seconde de chute.

Remarques:

Il apparait que les résultats obtenus sont suffisamment convaincants pour valider la méthode utilisée. Mais, la remarque la plus importante de ce chapitre est pourtant dans la méthode de résolution de l'équation diférentielle.

Il apparrait que la méthode de résolution fait intervenir la somme de l'équation homogène et d'une solution particulière. Et, la solution de l'équation homogène est au coeur de la résolution des équations différentielles linéaire. Dans ce cas, il apparait du fait de cette structure linéaire des propriétés très importantes pour deux raisons:

d'abord, la linéarité qui est en quelque sorte une symétrie qui conserve les proportions, ensuite la superposition des états qui permet de combiner toutes ces solutions entre elles.

C'est cette dernière remarque qui est fondamentale dans le développement structurel de la théorie des ensembles et de la mécanique quantique.

Le théorème de superposition est l'élément essentiel pour la mécanique qui permet l'aproximation de la variation d'une fonction par une superposition de monônes polynomiaux ou sinussoïdaux. Au début du dix-neuvième siècle on sait développer, sur un interval limité, une fonction quelconque sous forme de

série de Taylor ou de série de Fourier.

Il y a là deux représentations: l'une ponctuelle et l'autre vibratoire qui par superposition permettent de représenter les courbes et au delà les phénomènes physiques.

Ce n'est qu'au début du vingtième siècle que la science physique, la théorie des groupes et la résolution des équations différentielles seront suffisamment développées pour que l'on puisse fusionner tout cela. Les particules élémentaires deviendront alors des éléments bivalents à la fois ponctuels et vibratoires.

Louis Victor de Broglie est un mathématicien et physicien qui devient lauréat du prix Nobel de physique de 1929 pour sa découverte de la nature ondulatoire des électrons». Il présente ainsi sa découverte « Le fait que, depuis l’introduction par Einstein des photons dans l’onde lumineuse, l’on savait que la lumière contient des particules qui sont des concentrations d’énergie incorporée dans l’onde, suggère que toute particule, comme l’électron, doit être transportée par une onde dans laquelle elle est incorporée […] Mon idée essentielle était d’étendre à toutes les particules la coexistence des ondes et des corpuscules découverte par Einstein en 1905 dans le cas de la lumière et des photons à toute particule matérielle de masse m et de vitesse v doit être associée une onde réelle reliée à la quantité de mouvement par la relation:

λ = h/p = (h/mv) (1 − v²/c² )^{1/ 2}

où λ est la longueur d'onde de Planck, p la quantité de mouvement, m la masse au repos, v sa vitesse et c la célérité de la lumière dans le vide. Cette théorie posait les bases de la mécanique ondulatoire.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine. En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

Introduction à la mécanique quantique Cours d’ouverture … Dans les années 1950 :

« I can safely say that nobody understands quantum mechanics.» Richard Feynman

Cette déclaration de l’un des plus grands physiciens quantiques du XXe siècle a de quoi surprendre. Si Feynman ne comprenait pas la mécanique quantique, qui le pourra? Si "comprendre" signiﬁe interpréter les résultats de la théorie en termes simples utilisant la logique et le bon sens de la vie de tous les jours, alors Feynman avait sûrement raison, tant la mécanique quantique déﬁe l’intuition. Pourtant, avec un peu d’habileté et beaucoup de courage, on peut en maîtriser le formalisme mathématique et en tirer toutes sortes de prédictions, dont aucune n’a jamais été prise en défaut.

"Finalement Feynman démontrera la validité de cette mécanique et avec le principe de superposition et un minimum de dépense d'énergie....

A ce titre on pense que l’équation quantique de Schrödinger ne saurait être démontrée, elle s'est obtenue par un raisonnement de type inductif à la ﬁn duquel nous postulons que c'est l’équation générale des ondes de matière. Mais on peut justiﬁer cette équation de façon un peu plus convaincante, et in ﬁne cette équation s'est justiﬁée... parce qu’elle a donné de bons résultats. En particulier elle a permis à Schrödinger de retrouver le spectre de l’hydrogène, la dégénérescence des niveaux d’énergie et les trois nombres quantiques n,l,m, et l’eﬀet Zeeman 'normal'.

Notons cependant deux propriétés qui justiﬁent que l’on s'intéresse à cette équation

(−ℏ²/2m)∇Ψ.VΨ = i.ℏ∂/t Ψ

avant même d’en déduire des prédictions expérimentalement vériﬁables. La première est qu’il s’agit d’une équation différentielle linéaire. Par conséquent, toute combinaison linéaire de deux solutions est une solution : or c’est un des grands principes de la physique quantique, que l’on peut vériﬁer avec une grande précision, et dont on a déjà rencontré une incarnation en spectroscopie.

De plus, il s’agit d’une équation du premier ordre en t, ce qui montre que l’on peut calculer la fonction d’onde pour tout temps dès lors qu’on la connaît à un instant ﬁxé t₀ .

Ceci permet d’interpréter l’équation de Schrödinger comme une équation d’évolution. Remarquons que, pour la première fois dans l’histoire de la physique, le nombre complexe i apparaît directement dans une équation.

Est ce que ce serait lié à la quatrième dimension du temps?

L'apport de Louis de Broglie. Introduction à la mécanique quantique/L'équation de …

En 1924, dans sa thèse, Louis de Broglie émet l'hypothèse que, non seulement la lumière, mais en fait toutes les particules peuvent être vues comme des ondes, liées - comme le photon - à la particule, par les deux relations suivantes:

E = hν p = hλ

On peut ainsi, pour toute particule d'énergie et de quantité de mouvement donnée, associer une onde de fréquence et de longueur d'onde données, appelée fonction d'onde. Cela détermine la célérité de l'onde, et de Broglie montra que ces relations sont compatibles avec la théorie de la relativité restreinte. Dans la suite, il sera plus intéressant de considérer la pulsation ω et le nombre d'onde k (et même, au vecteur d'onde k), qui d’après les postulats ci-dessus, sont liés à la particule classique par :

E = ℏ ω p = ℏ k

L'une des conséquences les plus frappantes de cette dualité onde-corpuscule est que chaque particule peut interférer avec elle-même, dans une expérience de Young par exemple. Cela n’est pas seulement vrai pour les particules «élémentaires», comme le proton et l'électron, cela est aussi vrai pour des atomes et des molécules.

L'équation de Schrödinger.

Le physicien autrichien Erwin Schrödinger utilisa ces résultats pour établir une équation régissant l'évolution spatiale et temporelle de la fonction d'onde. Cette équation est un postulat de la mécanique quantique: elle ne se démontre pas. Cependant, nous montrons ici comment Schrödinger a abouti à cette relation.

En partant de la fonction d'onde

Ψ( r , t ) = Ψ₀ e^{i ( kr − ω t )}

Et en utilisant les relations proposées par de Broglie sur la quantité de mouvement et l'énergie:

Ψ( r , t ) = Ψ₀ eⁱ^ℏ^{( p.r − Et )}

Il remarque alors qu'en dérivant l'onde par rapport au temps, il vient :

∂/∂t Ψ( r , t ) = − (i/ℏ E) Ψ₀eⁱ^ℏ^{( p.r − Et )} = − (i/ℏ )E Ψ( r , t )

De même, le gradient de cette fonction d'onde donne :

∇ Ψ( r , t ) = (i/ℏ/p) Ψ( r , t )

Nous avons donc, pour toute onde Ψ de cette forme, en tout point et à tout instant :

(i/ℏ) ∂/∂tΨ = EΨ

− iℏ ∇ Ψ = pΨ

Pour une particule donnée, d’après la mécanique classique, l'énergie mécanique est donnée par :

E = Ec Ep = 1/2mv² V( r ) = p²/2m V( r )

Cette quantité apparaît en fait plus naturellement dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique: la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique est appelée hamiltonien, qui s'identifie ici à l'énergie mécanique totale. En multipliant par la fonction d'onde:

p²/2m Ψ V Ψ = EΨ

Et enfin en utilisant les résultats précédents, nous avons:

(− iℏ∇ )²/2m Ψ V Ψ = (i/ℏ) ∂/∂tΨ

Ce que l’on peut écrire sous l'une ou l'autre des deux formulations suivantes:

Équation de Schrödinger

Toute fonction d'onde Ψ vérifie, à tout instant et en tout point :

− ℏ²/2m ΔΨ( r,t )V( r ) Ψ( r,t ) = iℏ ∂Ψ( r,t )/∂ t

c'est-à-dire : H Ψ = E Ψ

où la quantité H est appelée opérateur Hamiltonien ou plus souvent Hamiltonien.

Dans certains problèmes, il est possible de considérer des phénomènes indépendants du temps. L'énergie n'est alors plus une dérivée de la fonction d'onde, mais une constante. On a alors: