Le principe de moindre action

 

 

 F. Hérau    Professeur de Mathématiques Université de Nantes

    Le principe de moindre action

 

 

Introduction: 

 

Je reprends mot pour mot la publication ci dessus qui traite ce problème et qui m'a permis de bien le comprendre et de découvrir comment ces structures mathématiques décrivent merveilleusement tout notre environnement à condition de les digérer.    J'y apporte une étude critique approfondie qui me permet de préciser le rôle des invariants, la place du temps et l'apparition des propriétés de superposition pour un physicien....et la mécanique quantique.     Tout est là !!!

 

J'ai trouvé là le fil conducteur qui m'a permis de comprendre le cheminement du cerveau dans l'explication de l'évolution de l'univers, du Big Bang au Cerveau lui même. Ce fil conducteur c'est le principe de moindre action qui gère toutes les transformations qui conduisent les progrès de l'évolution et qui se construisent sur des loi de conservation essentiellement d'action donc de quantité de mouvement et d'énergie et plus généralement sur des invariances de symétries .  Ce fil c'est l'historique de la construction de la connaissance de notre environnement qui permet d'appréhender le fonctionnement du cerveau lui même qui se bâtît sur des flux de transferts d'énergies ou d'informations minimisés.

 

 

Ce développement concerne celui de la science Physique et expose la synthèse historique des progrès réalisés depuis l'apparition des premières écoles grecques il y a environ 2.500 ans jusqu'à la mécanique quantique qui permit notamment d'élucider le mystère de la structure de l'atome, et plus globalement qui s'avéra être le cadre général de description du comportement des particules élémentaires jusqu'à constituer le socle de la physique moderne qui est caractérisé par l'étude des invariants et le principe de moindre action.

Ceci permet de déduire de la conservation de l'énergie et de Structures mathématiques élémentaires un ensemble global d'invariants et de propriétés qui caractérisent les lois fondamentales de l'évolution de notre environnement. Ce qui caractérise ces Structures c'est leur simplicité et la globalité de l'étendue de leur champ d'application. C'est le cas du Lagrangien et de l'Hamiltonien qui précèdent la compréhension et la connaissance de la Physique de beaucoup, ce qui se manifeste par un décalage important de l'ordre d'un siècle dans ces deux cas de développement des théories et de leur compréhension. Encore aujourd'hui peu de chercheurs de ces domaines ont digéré au fond ces théories mathématiques mais avant tout Physiques. Et, pourtant il semble bien qu'il suffit de comprendre ce qui suit.

 

 

 

Définition

Principe de moindre action: En physique, hypothèse selon laquelle la dynamique d’une quantité (position, vitesse, accélération...) entre deux instants se déduit d’une unique grandeur appelée action (quantité de mouvement, énergie) dont on suppose qu’elle atteint son minimum.

 

 

 

Un peu d’histoire ...

Les formulations changent dans le temps mais le principe reste identique:

1623- Galilée : "l'écriture mathématique du livre de l'Univers" est considéré depuis 1680 comme le fondateur de la physique.

1655- Fermat : "la trajectoire minimise une durée ou une longueur"

1687- Newton : "le principe d'inertie" reconnu pour avoir fondé la mécanique classique.

1744- Maupertuis :"principe de moindre action pour la mécanique. Si sage si digne de l’être suprême" (considérations métaphysiques).

1756- Lagrange : "Expression mathématique du Lagrangien.

1788- "Prouve le principe à partir de la dynamique de Newton et de la conservation de l’énergie. (avec moins de considérations métaphysiques et plus de mathématiques...)

 

 C'est le début d'un traitement fonctionnel global. 

Le Lagrangien est une fonction de départ globale de la mécanique classique qui à partir des variables d'état du système gravitationnel étudié permet de définir et de calculer leurs valeurs et leurs variations dans le temps.

 

 

 

Un principe fécond.

1827 : Hamilton : développement de la mécanique Hamiltonienne (suivi par Jacobi 1840).

1920 : le principe guide De Broglie dans sa théorie des quanta.

1916 : Réécriture des équations de la relativité générale par Hilbert.

1942 : Feynman propose une nouvelle formulation du principe en mécanique quantique et retrouve l’équation de Schrödinger.

C'est le résultat final de ce concept universel.

L' Hamiltonien permet de généraliser ce concept à la mécanique quantique des particules élémentaires.  

 

 

 

1. Un peu de mécanique classique.

Le principe dit que l’action A est minimisée le long de la trajectoire effectivement suivie.

Le Lagrangien L(t,x,v) au temps t d’une particule classique

de masse m, de position x(t) et de vitesse v = x'(t) = d/dt.v est défini par

 

L(t,x,v) =         ½.mv² − V(x)

               =            Ecin − Epot 

Cette équation à deux parties:

Une première partie à gauche L(t,x,v) qui définie entre parenthèse les variables définissant l'état du système étudié .

Une seconde partie à droite qui est l'expression arithmétique des calculs à effectuer pour obtenir des résultats.

 

et l’action A pour aller de la position x₁, au temps t₁ à la position x₂ au temps t₂ est donnée par

 

A(x(t); t₁, x₁, t₂, x₂) = t₁∫^t2 L(t,x(t),v(t)).dt

 

Minimiser l’action entre t₁ et t₂ revient à trouver la trajectoire qui minimise l’énergie cinétique et maximise l’énergie potentielle.         (difficilement compréhensible en soi).

 

 

 

 

Remarques essentielles :

 

Il est malheureux que le signe moins de − V(x) ait été choisi car le choix de + V(x) aurait résolu bien des problèmes et aurait validé directement le principe de moindre Energie et de moindre Action du même coup.

 

 

 

Cette formule serait alors non seulement le fondement de la mécanique, toute la mécanique, mais aussi de toute l'évolution de l'univers qui se construirait sur l'Energie initiale apparue à sa naissance, créée au Big Bang.

 

 

 

 

2. Eléments de preuve : Particule classique.

Considérons une trajectoire x(t) et une trajectoire proche x(t) + δx(t) de mêmes extrémités. Alors la variation de l’action A est donnée par l'intégrale

 

δA = t₁∫^t2 (∂L/∂x.δx + ∂L/∂v.δv).dt

 

et par intégration par parties en utilisant que δv = d/dt.δx on obtient

 

δA = t₁∫^t2 ( ∂L/∂x − d/dt.∂L/∂v ).δxdt

 

Le principe dit que A doit être extrémal, donc δA = 0 quel que soit la petite perturbation δx, ce qui implique

 

∂L/∂x − d/dt.∂L/∂v = 0

 

qui s’écrit ici en fonction de la masse m, l'accélération a, et la Force F.

 

m.a    = m.d/dt(v) = − ∂V/∂x    = F

 

On retrouve l’équation fondamentale de la mécanique classique:       F = m.a

 

 

 

3. Equation d’Euler-Lagrange et Lagrangien

L’équation précédente :

 

∂L/∂x − d/dt.∂L/∂v = 0

 

Permet de déterminer la dynamique du mouvement étant donné un Lagrangien.

Comment construire un Lagrangien?

C’est une question difficile pour diverses raisons:

Le Lagrangien n'est pas unique.

La résolution de l’équation d’Euler-Lagrange est difficile (équation différentielle d'ordre 2).

S’il n’y a pas d’origine des temps privilégiée alors L = L(x,v) ne dépend pas du temps (système uniforme isolé).

Il est construit à partir de considérations de symétrie (invariance pour en mécanique classique par exemple, par translation, par rotation...)

pour des considérations physiques (dépendant des constantes)

 

 

 

4. Lagrangien et énergie

De manière abstraite, on peut considérer un Lagrangien L ( pour des trajectoire effectives) et chercher quelles sont les quantités conservées le long de ces trajectoires. Considérons une trajectoire x(t) satisfaisant l’équation d’Euler-Lagrange (pour un Lagrangien homogène) on a alors

 

d/dt.L(x,v) = x'.∂L/∂x + v'.∂L/∂v = v.d/dt.∂L/∂v + dv/dt.∂L/∂v = d/dt(v∂L/∂v)

 

où on a utilisé l’équation d’Euler-Lagrange et la dérivée d’un produit. On obtient donc

 

d/dt (v.∂L/∂v − L) = 0 .

avec

 

E(x,v) = v.∂L/∂v − L

 

Cette quantité est conservée, c'est l'énergie qui est une "intégrale première du mouvement".

 

 

 

5. Energie, quantité de mouvement et Hamiltonien

Dans le cadre classique précédent, pour L = ½.mv² − V(x) on retrouve l’énergie totale de la particule.

 

E = v.mv − (½.mv² − V(x)) = ½.mv² + V(x)

 

On introduit alors le moment conjugué de v, noté p : p(x,v) = ∂L(x,v)/∂v

cela donne p = mv la quantité de mouvement. Sous la condition où L''_v(x,v) la dérivée seconde n'est pas nulle on écrit l’énergie E comme fonction de x et de p et on l’appelle Hamiltonien H.

 

H(x,p) = p²/2m + V(x)

 

Cette fois c'est l'énergie totale du système et la quantité de mouvement

qui interviennent dans les calculs à effectuer pour étudier son évolution .

 

 

Ce qui est remarquable dans cette équation ou Structure mathématique :

 

. l'Hamiltonien H à gauche porte sur les variables conjuguées définissant l'état du système (x,p) où le temps  t  n'intervient pas   (variable de position x et de quantité de mouvement p qui se conserve).

 

. l'Hamiltonien est égal à droite à l'énergie totale du système qui est un invariant ½.mv²+V(x) qui se conserve globalement en se transformant. Par exemple comme avec  E=mc².

Donc tous les résultats que nous obtiendrons ne seront une conséquence ou ne proviendront que de l'énergie initiale qui se transformera en parties distinctes.

Le temps au départ n'est pas apparent dans l'expression de l'Hamiltonien H car p est un invariant. Il est donc dans l'expression de droite qui est celle de l'énergie totale du système. Il apparaitra alors dans ses transformations qui s'effectuent avec une croissance de l'Entropie Q/T  qui est le paramètre introduisant le temps....

 

. l'Hamiltonien nous permet de calculer les trajectoires et l'évolution du système à partir des équations canoniques qui sont un système linéaire d'ordre 1 et qui de ce fait intègre le théorème de superposition qui caractérise la mécanique quantique.

 

 

 

6. Equations canoniques

La relation liant Lagrangien et Hamiltonien est

 

H(x,p) = pv − L(x,v)        ( si p = ∂L/∂v )

 

de manière générale H(x,p) = max_v(pv −L(x,v)) l' Hamiltonien H est la transformée de Legendre du Lagrangien L. On peut réécrire les équations du mouvement dans les variables (x,p) :

ce sont les équations canoniques

 

x'(t) =    ∂H/∂p(t,x,p)

p'(t) =  −∂H/∂x(t,x,p)

 

C'est un  système d’équation d’ordre 1 qui est plus facile à résoudre que l’équation d’Euler Lagrange. 

 

Ce système linéaire d'ordre 1: Y=AX se résout en introduisant des relations linéaires portant sur des variables d'états généralisées sous formes de la matrice carrée A du système que l'on diagonalisera pour obtenir la solution à l'aide de ses valeurs propres qui anulent le déterminant de l'équation Homogène. Ces solutions de l'équation homogène portent alors la propriété de superposition dans la résolution des équations différentielles du système étudié.

 

 

7. élément de preuve...

On a d’une part

 

dH = ∂H/∂t.dt + ∂H/∂x.dx + ∂H/∂p.dp

 

d’autre part puisque

 

H(x,p) = pdv − L(x,v)

 

dH = pdv + vdp − ∂L/∂t.dt + ∂L/∂x.dx + ∂L.∂vdv

 

= vdp − ∂L/∂.tdt + ∂L/∂x.dx

 

par définition du moment conjugué on obtient ainsi en identifiant

 

dx/dt def = v = ∂H/∂p , − ∂H/∂x = ∂L/∂x = d/dt ∂L/∂v def = dp/dt

 

Dans le cas où

 

H = ½.mp² + V(x),

 

on obtient

 

dx/dt = p/m            et            dp/dt = −∇.V(x).

 

 

 

8. Analyse microlocale, mécanique semi-classique

De manière générale, la mécanique Hamiltonienne est très présente (sous-jacente) dans la branche des EDP (Equations aux Dérivées Partielles) appelée analyse microlocale.

La mécanique semi-classique (i.e. dans laquelle il y a un petit paramètre par exemple la constante de Planck h) est une branche de la mécanique quantique dans laquelle le comportement des particules (quantiques) est très similaires (mais différent :-) de celui des particules classiques.

Ces branches des mathématiques sont très représentées à Reims.

 

 

 

9. Un autre exemple : principe de Fermat

En dimension 3 (x ∈ R³). "Pour aller de A à B, la lumière met le temps minimal".

"La lumière parcourt la longueur minimale" On définit le Lagrangien par

 

L(x,v) = Norme(x') =  √²( v₁² + v₂² +v₃² )       (Racine²)

 

( on a ds = Norme(v).dt longueur infinitésimale)     L’action est alors

 

L(x₁,x₂) def = A(x(t),t₁,x₁t₂,x₂) = t₁∫^t2 Norme(v')dt = x₁∫^x2 ds

 

L’équation d’Euler Lagrange est alors

 

0 = ∂L/∂x = d/dt ∂L ∂v = v'/Norme(v)

 

d’où v' = 0 et donc v = cte (dans R³) le plus court chemin est la ligne droite.

 

 

 

10. d’autres Lagrangiens...

 

 

 

 

 

Conclusion:

 

Il apparaît nettement dans ce développement de connaissances Physiques de notre environnement qu'avec Lagrange dés 1788 il était possible d'unifier, à partir d'une seule formule  L(x,v) = ½.mv²--V(x) ,  dans une Structure mathématique le Lagrangien, égale à l'Energie du système étudié, où elle se conserve, toute la physique de l'époque. Ce qui explique son succés.

 

 

 

 

Cette forme unique L(x,v) = ½.mv²--V(x) équation du Lagrangien, trés simple, permet d'obtenir l'équation de mouvements dans le cas de la mécanique classique (l'évolution de notre système) et le détail des propriétés et des Symétries qui décrivent cette évolution du système.

 

Ce n'est que plus tard après Einstein et Bohr vers 1915 que les connaissances et les fondements qu'on ne percevait pas s'affirmeront enfin avec l'Hamiltonien et le théorème de Noether.

 

Cette Structuration s'est poursuivie alors dans l'Hamiltonien qui n'est rien d'autre que la transformation de Legendre du Lagrangien qui nous fournit un système d'équations différentielles canoniques du premier ordre qui définit la mécanique quantique qui se développe vers 1925 et introduit le théorème de superposition qui la caractérise.

 

 

 

 

 

 

Cette simplicité à priori du moteur universel impulsant l'évolution de l'univers ne s'impose pas simplement au niveau des principes fondamentaux de la théorie mais aussi au niveau des mécanismes et procédures qui permettent de réaliser ces objectifs.

 

 

Il est intéressant aussi de consulter cette vidéo qui montre aussi tout le cheminement du développement des mathématiques nécessaires à la compréhension des lois concernant toute l'évolution.

 

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