Du Big Bang au Cerveau

 

 

 

Introduction à l'Espace-Temps.

 

 

 

 

 

 

 

L'étude de l'évolution ne peut se faire qu'en s'appuyant sur une bonne connaissance de la science physique dont c'est le domaine. La théorie actuelle permet de comprendre et de prévoir des comportements avec une précision considérable de  10^-12  qui valide nos connaissances. Il serait préférable de surmonter son appréhension pour essayer de comprendre ce qu'est cet espace à 4 dimensions et donc de lire cette partie. Il en restera toujours quelque chose d'important ne serait ce qu' une plus grande conviction .....

L'Espace-Temps résout un problème physique de déplacement dans un espace matériel à 3 dimensions (x,y,z)  à l'aide d'une théorie mathématique de groupe uniforme dans un espace à 4 dimensions y intégrant le temps t  (x,y,z,t).  

On remplace alors      des trajectoires fonctions de t  [ x(t), y(t),z(t) ]      par des lignes de vie  f(x,y,z,t)=0 .
Ces trajectoires sont généralement le résultat de différentes causes qui se révèlent individuellement par des effets linéaires pouvant être superposables en fonctions d'un temps absolu. La causalité est alors l'élément fondamental dans la recherche de la solution mathématique de la trajectoire.
L'espace à 4 dimension intègre le temps et donc la causalité dans la solution. Ce sont les mathématiques et leur propriétés qui résolvent alors le problème pour nous, nous fournissant une seule ligne de vie qui nous impose un temps.

 

 

 

 

 

Le sujet de cette série d'exposés porte sur l'état de nos connaissances sur toute l'évolution du Big Bang initial au fonctionnement même de notre Cerveau. C'est de montrer qu'actuellement l'ensemble de l'évolution de l'Univers est quasiment compris et expliqué par un minimum de lois physiques très simples qui font appel au bon sens. Ces Lois de base sont les deux principes de la Thermodynamiques qui s'appliquent à l'énergie et la masse et peuvent s'énoncer en une seule phrase.

 

  " Rien ne se crée, rien ne se perd, tout se transforme avec une augmentation    d'Entropie."

L'Entropie est une notion complexe et je préfère parler que de transformations de Structures.

La vitesse  c = 300.000km/s  de la lumière est un invariant fondamental de           l'Espace temps.

 

Il a fallu attendre le 19^ème siècle pour en arriver là, suite au siècle des lumières et à une structuration et une normalisation du langage et des sciences par l'académie des lettres et des sciences pour qu'enfin vers 1900 les sciences imposent une révision globale de leurs structures et de leur logique avec la mécanique relativiste restreinte puis générale et enfin quantique qui mènera à la précision actuelle des théories scientifiques de l'ordre de 10^-12 qui permet de développer le modèle standard du Big Bang. Au départ c'est la description de notre environnement qui nécessite un Repère dans l'Espace et le Temps, le lieu et la date, c'est ce minimum nécessaire qui impose et justifie les théories de la physique.

 

Pour cela il nous faut nous créer un Repère à la fois dans l'Espace et le Temps si l'on veut étudier précisément notre environnement. Notre Repère doit à priori être dans un espace à 4 dimensions: 3 Longueurs x,y,z mesurées en mètres et 1 temps imaginaire  (i.t)  hors espace, donc imaginaire comme pour  i² = -1, en secondes.

Les changements de Repères ne doivent pas modifier l'environnement et donc on cherche  un invariant pour une solution dans un  espace affine pseudo-euclidien (structuré)  conservant l'intervalle s  d'Espace-temps .

  

  s² = x² + y² +z² +(it)²   =   x² + y² + z² –t²   (distance obtenue avec le théorème de Pythagore de somme des carrés des cotés qui sont les coordonnées ).

Et, on obtient pour l'addition des vitesses la relation de Composition des vitesses (schéma plus loin)

 

  v  = (v₁ + v₂)/( 1 + v₁v₂/c² ) (1) qui impose la vitesse  c  constante de la lumière quelque soit la vitesse constante v₁ de déplacement uniforme du repère  R'  dans le repère R fixe car elle démontre que si la vitesse additionnée  v₂ = c  dans  R'  on obtient dans  R  une vitesse   v = c invariant   ce qui est confirmé par toutes les mesures expérimentales.

 

Evidemment, seuls les résultats expérimentaux par leurs précisions valideront ces hypothèses supposées et leurs conséquences. C'est l'avantage des sciences physiques. Et ces résultats mathématiques nous imposent des résultats physiques incompréhensibles autrement.

 

Représentons cet impossible Repère orthonormé de notre Espace-temps comme ci dessous et on verra !

 

 

 

 

 

Le point A lorsqu'il se déplace directement par exemple de O à A a une projection A' sur une trajectoire OA' qui est dans le plan Oxy de l'espace réel représenté en avant de la page de O à A' vers le bas. Le temps t est dans la quatrième dimension imaginaire représentée ici par i porté par Oz dans le plan de cette page.

 

Le point A se déplace sur ce qu'on appelle la ligne d'Univers OA de l'espace à 4 dimension représenté au centre. Cette ligne a pour équation x'= v.t dans le plan Ox't (v est la pente de cette droite par rapport à l'axe Ot). Le mètre étalon peut être appliqué le long de la ligne d'Univers pour en mesurer les longueurs. Si cette pente est égale à c alors le point A s'éloigne de l'origine à la vitesse de la lumière c . C'est un photon. L'axe Ot est un axe de symétrie cylindrique de d'espace autour de t qui se traduit par un cercle dans xOy, dans yOz et dans zOx autour de O et donc aussi dans tOx, tOy et tOz. Si l'on change de Repère attention la vitesse de la lumière doit rester constante comme on le voit dans

v = (v₁ + v₂) / ( 1 + v₁v₂/c² )    avant de tracer ces graphes et donc la ligne d'Univers OA qui se projette en trajectoire OA' ( cette projection consiste aussi à retrancher  t²  dans la distance        s² = x² + y² + z² – t² .

s² =   x² + y² + z² – t²     doit rester constante et ce n'est pas ce que l'on voit sur notre graphe. On à tracé à droite l'Espace-Temps à déformation sphérique pour corriger cette erreur de perception. C'est un effet difficilement perceptible par notre cerveau et donc optiquement, mais plus exactement c'est un effet de perspective car nous avons représenté ici l'impossible.

 

D'ailleurs à la renaissance l'introduction d'un point de fuite pour rendre compte de la perspective fait se rencontrer des droites parallèles en un point précis du tableau qui est loin d'être rejeté à l'infini puisqu'on peut le toucher du doigt. C'est le cas aussi dans la figure suivante où ce point de fuite trompe notre cerveau et donc la réalité car les deux droites sont effectivement parallèles et bien droites malgré ce que l'on voit tous et quoi qu'on fasse. 

 

 

 

                      

 

 

 

Donc aussi en réalité pour notre Repère dans l'Espace-Temps on devrait avoir une symétrie sphérique en même temps que rectangulaire pour que la ligne AA' reste orthogonale aux trajectoires OA et OA'. A et A' pouvant se projeter l'un sur l'autre et c'est encore moins faisable.

 

 

 

 

Qu'est ce que l' Espace-Temps ?

 

 

L'Espace-Temps n'est rien d'autre que notre perception de notre environnement par un physicien. C'est d'abord une image vue par l' oeil et interprétée par le cerveau et actuellement il est facile d'en conserver la trace grâce à son mobile sous forme de photo contenant 5 Mégapixels. Ce qui mesure la quantité d'information stockée en mémoire. C'est alors une structure matérielle organisée dans un plan qui capte une image constituée de points de couleurs RBV codés en binaire.

C'est pratiquement une peinture utilisant le pointillisme. Cette technique de peinture date des années 1880. Le cerveau à l'époque précède la technique pour exprimer une observation et un ressenti. Cette décomposition se fait dans le cerveau à partir d'une image que l'on retrouve presque sur un écran de l'IRM scrutant le Cerveau.

 

En mécanique classique de Newton les longueurs et le temps sont des valeurs absolues invariantes. Il n'en est pas de même en mécanique relativiste. A partir des projections et en fonction de la vitesse de déplacement d'un objet ou de l'observateur on aura des variations des longueurs et du temps. L'Espace-Temps est alors une structure Mathématique.

 

 

 

Remarque fondamentale:

 

L'espace-temps est un espace fondamental à 4 dimensions: 3 dimensions de longueur x,y,z  et 1 dimension de temps t. Et, pour plus de cohérence on devrait  mesurer le temps t lui aussi en longueur  t   en changeant tout simplement d'unité de mesure tel que   t = c.t   où   c  est la célérité de la lumière qui est une constante universelle. C'est d'ailleurs ce que l'on fait déjà lorsqu'on mesure les dimension de l'Univers en années lumière, c'est à dire en longueur parcourue par la lumière pendant une année. une année-lumière est exactement égale à 9 460 730 472 580,8 km, soit environ 9 460,730 milliards de kilomètres. Ce n'est pas toujours pratique mais c'est toujours exactement ça. Le repaire de l'Espace-temps aurait alors quatre axes quasi identiques.

C'est ce que l'on fait généralement pour résoudre certains problèmes

 

 

 

Loi de composition des vitesses     

Composition des vitesses (Wikipédia)

     v = (v₁ + v₂) /( 1 + v₁v₂/c² )                    Ceci par exemple dans une fusée se déplaçant à la vitesse v₁ par rapport à la Terre on tire un boulet de canon à la vitesse v₂ par rapport à la fusée. Les vitesses du boulet par rapport à la fusée et celle de la fusée par rapport à la Terre s'ajoutent alors sous cette forme.

 

                                   

 

Mesures des longueurs et du temps dans les référentiels:   Contraction des longueurs et Dilatation du temps.

 

Deux référentiels inertiels étant donnés, en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, x'  glissant sur x à vitesse v constante, comment s'assurer qu'ils ont le même système de mesure du temps et des longueurs ?

 

1.   Tout d'abord, dans un seul référentiel, les hypothèses de l'isotropie et de l'homogénéité de l'espace impliquent que les mesures que l'on peut faire sur un objet ne dépendent pas de sa position dans le référentiel.

2.   En transmettant des doubles de l'unité de mesure et de l'horloge de référence d'un référentiel inertiel à l'autre, on leur fait subir une accélération (pour passer de l'immobilité dans l'un à l'immobilité dans l'autre), ce qui implique que ces doubles ne sont pas dans un référentiel inertiel durant cette phase mais dans un référentiel accéléré et on peut imaginer que dans ce référentiel transitoire, leurs propriétés ne sont plus les mêmes. Mais une fois l'immobilité acquise dans le nouveau référentiel, le principe de relativité implique qu'ils ont les mêmes propriétés que dans leur précédent référentiel inertiel : les unités de mesures sont les mêmes dans les deux référentiels. Ce sera la vitesse relative v entre les deux référentiels qui va donner des différences de mesures pour une même expérience.

 

Le phénomène du « ralentissement des horloges en mouvement » ne permet pas de synchroniser des horloges en mouvement avec celles qui sont immobiles dans le référentiel de l'observateur.

 

 

Contraction des longueurs

 Mesure de la longueur d'un objet en mouvement   Δx = (1 – v²/c²)^1/2. Δx'  

 

Dans un référentiel quelconque de l'Espace-temps, mesurer un objet c'est avoir deux détecteurs, immobiles et espacés d'une distance connue, qui sont simultanément en contact avec les extrémités de cet objet. Dans ce cas par définition, la longueur de l'objet est la distance entre les deux détecteurs.

 

En considérant deux référentiels R fixe et R' en translation rectiligne uniforme à la vitesse v par rapport R , l'immobilité et la simultanéité étant relatives au référentiel considéré, ce qui apparaît être une mesure de longueur dans l'un n'en est pas une dans l'autre.

 

Si la mesure est faite dans le référentiel R' , on y considère, pour la mesure de la longueur, des coordonnées où les extrémités sont simultanément détectées chacune par un détecteur fixe: donc Δt' = 0 entre la détermination de ces coordonnées, et Δx' est la distance entre les détecteurs, c'est ainsi la distance directement mesurée entre les extrémités.

 

On suppose que l'objet est immobile dans le référentiel R' et que, par rapport au référentiel R , il est en translation à la vitesse v dans le sens de sa longueur mesurée suivant x ou x', en rappelant que la grandeur de la vitesse v de R' par rapport à R est aussi celle de R par rapport à R' et seul le signe ou le sens de v change.

 

Dans le référentiel R' , l'objet est immobile et on peut considérer que l'on y fait la vraie mesure de sa longueur, se sera alors la longueur propre mesurée.

 

Dans le Repère R fixe il existe un endroit fixe où chacune des deux extrémités de l'objet situé dans R' se présente, l'une après l'autre, à un intervalle de temps Δt = Δx/v . On place à cet endroit un détecteur et on considère l'événement du passage en ce point qui provoque une « rencontre entre le détecteur et une des extrémités ».

 

Dans R on obtient un temps entre ces deux détections Δt = Δx/v qui permet le calcul de la longueur de l'objet mesuré dans ce référentiel et on note, que la distance spatiale entre ces deux détections est nulle puisque c'est le même détecteur qui délivre ce temps.

 

Dans R' ce même intervalle de temps est aussi mesuré Δt' = Δx'/v , où Δx' est la longueur de l'objet mesurée dans ce référentiel R' (c'est sa longueur propre). Par contre, ces deux détections sont espacées de la longueur Δx' des extrémités dans ce référentiel R' où l'objet est immobile et c'est le détecteur dans R qui défile par rapport à R'. Ces deux procédures de mesures ne sont pas identiques. 

Par l'invariance de l'intervalle d'Espace-temps on obtient après un calcul complexe   

 

                     Δx² = (1– v²/c²). Δx'²     où  (1– v²/c²) <1       et donc    Δx² < Δx'².

 

il y a contraction de la mesure de la longueur propre de l'objet en mouvement par rapport à l'objet immobile. En relativité restreinte, la contraction des longueurs désigne la loi suivant laquelle la mesure de la longueur d'un objet en mouvement est diminuée par rapport à la mesure faite dans le référentiel où l'objet est immobile, du fait, notamment, de la relativité de la simultanéité d'un référentiel à l'autre. Toutefois, seule la mesure de la longueur parallèle à la vitesse est contractée, les mesures perpendiculaires à la vitesse ne changent pas d'un référentiel à l'autre.

 

Dilatation du temps 

Mesure du temps dans un repère en mouvement.   Δt = ( 1 – v²/c² )^–1/2. Δt'

 

Le terme dilatation du temps désigne un effet de la relativité restreinte selon lequel l'intervalle de temps entre deux événements mesuré dans un référentiel inertiel quelconque est toujours supérieur à l'intervalle de temps mesuré dans le référentiel inertiel où ces deux événements ont la même position spatiale (mais n'ont pas lieu au même moment, bien sûr).

 

Considérons deux événements, par exemple l'émission de deux éclairs, émis par un appareil transporté par une fusée, et séparés par l'intervalle de temps Δt' mesuré dans cette fusée (c'est l'intervalle de temps propre les séparant car ces éclairs sont émis au même endroit pour la fusée). Chaque éclair est émis alors que la fusée passe devant un observateur terrestre différent lisant l'heure sur sa montre, et ces deux observateurs constatent que leurs lectures diffèrent du temps Δt . Comme la fusée se déplace à la vitesse v par rapport à la Terre, la distance entre ces deux observateurs terrestres concernés est de vΔt. Les deux mêmes événements « éclairs » étant séparés par l'intervalle d'espace-temps ( Δx = vΔt, Δt ) dans le repère terrestre. Et, dans le repère de la fusée ( 0, Δt' ), la relativité restreinte affirme que le carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements est le même dans les deux repères et que de ce fait l'égalité suivante est respecté.

 

                            c²Δt' ²   = c²Δt² – v²Δt ² = c²( 1 – v²/c² ).Δt²

 

                    Δt = ( 1 – v²/c² )^–1/2.Δt'      et donc  Δt' < Δt    

 

Ainsi, le temps propre mesuré dans la fusée est Δt' < Δt : le temps s'écoule plus lentement dans la fusée d'après les observateurs terrestres.

 

 

 

Inutile d'aller plus loin. La suite est là pour simplement être plus cohérant.     

Mais on a vu là l'essentiel qui est dans la contraction des longueurs et la dilatation du temps que l'on peut démontrer très simplement à partir de la conservation de l'intervalle Espace-temps (théorème de Pythagore) dans un repère en translation uniforme et que l'on vérifie expérimentalement.      

On vérifie aussi géométriquement que l'Espace-Temps n'est pas simple à envisager et encore moins à représenter.      C'est la Structure mathématique qui nous impose le plus simplement par sa cohérence la réalité de l'existence  de cet Espace-temps  et tout cela se reconstruit aussi sous forme de Structure neuronale dans le cerveau.

 

 

 

 

Les postulats d'Einstein (1905):

La théorie d'Einstein est centrée sur le principe de relativité qui concerne l'observation et la mesure des phénomènes en fonction du référentiel depuis lequel l'observateur (ou l'appareil de mesure) effectue les mesures sur l'expérience.

La relativité restreinte ne considère que le cas où l'observateur est dans un référentiel inertiel, les autres référentiels sont l'objet d'étude de la relativité générale. Rappelons qu'un référentiel est dit inertiel si tout objet isolé de ce référentiel (sur lequel ne s’exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme. Par exemple: une fusée dans l'espace loin de toute masse constitue un référentiel inertiel si aucun moteur n'est allumé.

 

Les deux postulats de la relativité restreinte sont les suivants:

 

1. Les lois de la physique ont la même forme dans tous les les référentiels galiléens

2. La vitesse de la lumière  c  dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens

 

Le premier postulat est le principe de relativité proprement dit, dans sa conception restreinte à la classe des référentiels inertiels. Il formalise un constat de Galilée selon lequel le mouvement rectiligne uniforme est «comme rien» pour l'observateur appartenant au référentiel mobile.

 

Le second postulat formalise l'interprétation des équations de Maxwell suivant laquelle il n'y a pas d'éther, et il est conforme aux expériences (en premier lieu celle de Michelson et Morley). Il est équivalent au postulat que la vitesse de la lumière ne dépend pas de la vitesse de la source lumineuse dans le référentiel de l'observateur. Une des conséquences est que la lumière peut être utilisée, de manière identique dans tout référentiel inertiel, comme moyen de communication pour y synchroniser les horloges qui y sont immobiles.

 

On peut se passer du second postulat pour déterminer les équations des transformations de Lorentz à condition d'introduire une hypothèse supplémentaire au premier postulat:     l'espace-temps est homogène et isotrope.

Ce fait a été découvert dès 1910 par Kunz et indépendamment par Comstock. L'hypothèse additionnelle conduit à un groupe de transformations, dépendant d'un paramètre c^2, physiquement homogène au carré d'une vitesse. Ces transformations s'identifient aux transformation de Galilée si c² est infini et aux transformations de Lorentz si c² est fini positif. L'identification de c à la vitesse de la lumière, établie comme finie par les observations, se traduit par le second postulat. Jean-Marc Lévy-Leblond fait remarquer que cette approche implique seulement l'existence d'une vitesse-limite c, qui est celle de toutes les particules sans masse, et donc de la lumière dans nos théories actuelles. Si le photon devait s'avérer avoir une masse (voir à ce sujet les propriétés physiques du photon), la relativité (ou plus exactement sa description mathématique) ne serait pas remise en question, mais la lumière aurait une vitesse légèrement inférieure à c, et qui dépendrait des référentiels, ainsi d'ailleurs que de l'énergie des photons la constituant, et donc de sa longueur d'onde.

 

 

 

 

théorème de Noether

 

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les  lois de conservations et l'invariance des lois physiques  en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées symétries).

Établi en  1918 par la mathématicienne Emmy Noether  à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne.

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges, et même de temps.

Modification Non observable	Symétrie par Transformation de:	Loi de conservation
Position spatiale absolue	Translation d'espace	Impulsion P
Temps absolu	Translation dans le temps	Energie
Orientation spatiale absolue	Rotation	Moment cinétique L
Vitesse, Orientation, Position absolues (Relativité Restreinte)	Transformations du groupe de Poincaré ( Lorentz + translations dans l'Espace et le Temps )	Intervalle d'espace temps s², Impulsion P, moment cinétique L, Energie E

 

 

 

 

 

MÉTAPHYSIQUE DE LA CAUSALITÉ ET PHYSIQUE DE LA …

Théorie des quantités conservées par Vincent Lam .

 

« Dans cette section, je présente brièvement les éléments centraux de la théorie des quantités conservées dans la version de Dowe (les différences avec la version de Salmon ne sont pas importantes ici). Dans le cadre de cette théorie, la causalité est comprise en termes d’interactions causales et de processus causaux, eux-mêmes définis à l’aide de concepts physiques. Ainsi une interaction causale est une intersection de lignes univers impliquant l’échange d’une quantité conservée. Une ligne univers est une courbe (de type ‘temps’ ou de type ‘lumière’) dans l’espace-temps représentant l’histoire d’un objet. La notion d’échange est comprise comme un changement dans la valeur de la quantité conservée pour au moins une ligne univers entrante et une ligne univers sortante et de telle manière que la loi de conservation correspondante soit satisfaite.

Une quantité conservée est une quantité physique qui satisfait une loi de conservation pour toute région de l’espace-temps donnée. Ce sont les théories physiques fondamentales qui définissent les lois de conservation ainsi que les quantités conservées ; cette conception de la causalité dépend ainsi fortement de ce que nous disent ces théories physiques fondamentales. En particulier, on considère volontiers l’(énergie-matière) comme la quantité conservée pertinente dans l’analyse de la causalité et ceci pour deux raisons principales. Premièrement, la conservation de l’(énergie-matière) est un des piliers de toute la physique contemporaine et donc semble être expérimentalement bien vérifiée dans notre monde. Deuxièmement, il semble y avoir un lien spécifique entre causalité et énergie(-matière), lien déjà mis en valeur par de nombreux philosophes, tels Bertrand Russell et Hans Reichenbach, et selon lequel une cause produit un effet en vertu de l’énergie(-matière) qu’elle possède. Le second élément fondamental de la théorie des quantités conservées est le processus causal, qui est une ligne univers d’un objet qui possède une quantité conservée. La notion d’objet est ici conçue dans un sens très large. Dans la mesure où l’on considère la causalité au niveau fondamental, les objets sont les éléments fondamentaux constituant l’ontologie pertinente, comme des particules ou des champs par exemple. Un objet possède une quantité conservée dans le sens que cette quantité conservée, considérée comme une propriété, est ‘instanciée’. La théorie des quantités conservées ne prend pas position dans les débats traditionnels en métaphysique des objets et des propriétés. La thèse centrale de la conception de la causalité en termes de quantités conservées peut à présent être énoncé comme suit : il y a une relation causale entre deux événements si et seulement si ces deux événements sont reliés par un ensemble de processus causaux et d’interactions causales de telle manière que tout changement se produit lors d’une interaction causale et que les changements dans les quantités conservées (l’énergie(matière)) sont régis par les lois de conservation physiques. »

 

 Cela concerne le premier principe de la thermodynamique qui postule que rien ne se crée et rien ne se perd, tout se transforme dans l'(énergie-matière) de l'(espace-temps). Mais aussi, que ce principe découle directement du principe initial de causalité.

 

 

Conclusion:   On a dû se lancer dans les maths pour établir ce qu'est notre environnement avant d'étudier son évolution. Mais, Peut-on comprendre d'où provient l'efficacité des mathématiques en ... Physique?

 

Etienne Klein traite ce problème dans une vidéo d'environ une heure qui vaut le coup.

L’idée que les mathématiques sont le langage naturel de la physique est devenue banale et semble claire.. Elle peut toutefois s’interpréter d’au moins deux façons, qui ne sont pas du tout équivalentes du point de vue épistémologique philosophique :
- soit ce langage est pensé comme étant celui de la nature même, ce qui implique que celui qui étudie la nature devra l’assimiler pour le comprendre ;
- soit, à l’inverse, ce langage est pensé comme étant le langage de l’homme, et c’est donc nécessairement dans ce langage-là que devront être traduits les faits de la nature pour nous devenir compréhensibles.
Les progrès récents de la physique aident-ils à départager ces deux approches ?

 

 

 

         Univers fini de Friedmann — Wikipédia

 

 (1)     Les transformations de Lorentz sont :

x = g(x'+ vt')

t = g(t' + vx'/c²)

         en différenciant on obtient:

dx = g(dx' + v.dt') = g(dx'/dt' + v).dt'

dt = g(dt' + vdx'/c²) = g(1+ (v/c²)/dx'/dt').dt'

         le quotient donne :

dx/dt = (dx/dt' + v)/(1+ v/c² / dx'/dt')

 Soit :

u = (u' + v) / ( 1 + u'v/c² )